Fino ad ora abbiamo preso in considerazione variabili casuali in cui i possibili eventi erano un numero finito ed ognuno si verificava con una determinata probabilità.
Poniamoci ora questo problema: Si sta facendo una gara di tiro, il bersaglio da colpire è un cartoncino su cui sono disegnate delle circonferenze concentriche. I concorrenti per ottenere più punti cercano di colpire il centro del cartoncino. Noi, guardando la cosa dal punto di vista probabilistico, ci chiediamo: che probabilità ha un singolo punto del cartoncino di essere colpito ?
Diciamo subito che i punti sono infiniti, e che una volta sparato il colpo, verrà colpito un solo punto. Inoltre se pensiamo che il cartoncino si estenda all'infinito possiamo dire che sicuramente un punto verrà colpito. Abbiamo quindi infiniti eventi tra loro incompatibili e complementari (condizione necessaria e sufficiente perché il modello sia una variabile casuale).
Ci troviamo quindi di fronte ad una situazione un po' strana, gli eventi che si possono verificare sono infiniti e quindi la probabilità che che venga colpito proprio un ben determinato punto è 1/¥ cioè 0 (probabilità nulla) ma visto che un punto verrà sicuramente colpito la somma delle probabilità deve essere uguale ad 1 (evento certo) .
Dobbiamo inoltre aggiungere che tanto più il tiratore è bravo tanto più i punti vicini al centro hanno probabilità di essere colpiti. Nelle immagini che seguono viene rappresentata la situazione appena descritta e con dei grafici tridimensionali si è cercato di visualizzare la densità di probabilità.
Si può sicuramente notare come i tre grafici tridimensionali rappresentino abilità di tiro tra loro diverse in quanto si può notare che i punti vicino al centro hanno probabilità diversa di essere colpiti a seconda della capacità del concorrente.
Da tutte le considerazioni fatte si deve concludere che la definizione di variabile casuale che abbiamo dato precedentemente in questo caso non è adeguata. Quella definizione serve per variabili casuali che chiameremo discrete (quando cioè i valori assunti dalla variabile casuale sono in numero finito). Qui occorre una nuova definizione di variabile casuale. Tale definizione non dovrà probalizzare il fatto che venga colpito un singolo punto ma, ad esempio, la probabilità che venga colpita una determinata area.
Facciamo ora un altro esempio in cui la definizione di variabile casuale che abbiamo dato è inadeguata.
Proviamo a rispondere al seguente quesito :
Che probabilità c'è che un neonato pesi esattamente 2,385 Kg?
La situazione è analoga a quella precedente quando dovevamo dare la probabilità che venisse colpito un punto ben determinato. Anche in questo caso dovremo rispondere che la probabilità è zero in quanto i valori che può assumere il peso sono infiniti, cioè tutti i valori compresi tra il peso minore possibile ed il peso maggiore possibile.
Anche in questo caso però possiamo dire che è più probabile che nasca un bimbo di peso vicino alla media del peso dei neonati che uno col peso lontano dalla media. E' più probabile cioè che nasca un bimbo che pesa 2,800 Kg che un bimbo che pesa 1,000 Kg.
Invece di cercare la probabilità che venga assunto un singolo valore, vediamo la probabilità che il peso cada in un determinato intervallo.
Costruiamo un istogramma con dei rettangoli che abbiamo l'area uguale alla probabilità che il peso sia compreso nell'intervallo considerato. La probabilità in questo caso è data dalla frequenza rilevata precedentemente (Si applica cioè la definizione frequentista). La somma delle aree è uguale ad 1.
Vediamo nei grafici che scorrono cosa succede partendo da intervalli del tipo (0,5-1,5); (1,5-2,5); (2,5-3,5); (3,5-4,5); (4,5-5,5) con probabilità (0,05; 0,25; 0,40; 0,25; 0,05) fino ad arrivare ad intervalli molto piccoli.
L' area complessiva è sempre uguale ad 1, suddivisa in rettangoli sempre più piccoli.
Vediamo che nel grafico finale l' area si può pensare racchiusa sotto una linea continua. Potremo pensare tale linea come al grafico di una funzione di cui si può dare anche una espressione analitica. Come abbiamo detto, tale funzione racchiude tra il suo grafico e l'asse x un'area uguale ad 1. E' chiaro che la funzione ottenuta è caratteristica di questo esempio. Esempi, però, ne potremmo fare però mille altri, con funzioni dagli andamenti più disparati, che avranno sempre in comune il fatto che l' area compresa tra il grafico della funzione e l'asse x sarà sempre uguale ad 1.
Queste funzioni vengono dette funzioni di densità di probabilità.