Il concetto di valor medio di una variabile casuale trova applicazione nello studio dei contratti e dei giochi aleatori (assicurazioni, scommesse, lotterie, lotto, superenalotto).
Prendiamo in considerazione il seguente gioco tra due giocatori A e B i quali scommettono le somme SA e SB sul verificarsi o meno di un Evento E aleatorio.
Sia p la probabilità che E si verifichi ed q=(1-p) la probabilità che non si verifichi cioè che si verifichi E ( la negazione di E). Se si verifica E il giocatore A vince la posta SB di B altrimenti B vince la posta SA di A.
Ci sono tutte le condizioni che servono per una variabile casuale :
E,E Sono eventi incompatibili e complementari
p,q danno per somma 1
Disponiamo così la situazione dal punto di vista di A
| Valori di X | Probabilità | Xi·pi |
| SB | p | SB·p |
| -SA | q | -SA·q |
| Somma | 1 | SB·p - SA·q |
Il valor medio della variabile casuale X é :
M(X)=SB·p - SA·q
Questo valor medio si chiama speranza matematica del guadagno aleatorio.
Definizione di gioco equo:
Un gioco è equo quando la speranza matematica del guadagno aleatorio è nulla.
Quindi un gioco è equo quando :
SB·p - SA·q = 0
Oppure :
SB·p = SA·q
Cioè
SA:SB = p : q
Consideriamo ora il caso di un gioco organizzato (lotto, lotterie ...). Un giocatore paga un prezzo P per partecipare al gioco e vincere una somma lorda S in caso di vincita. La variabile casuale per il giocatore si configura in questo modo:
| guadagno di A | Probabilità | Xi·pi |
| S - P | p | (S - P)·p |
| -P | q | -P·q |
| Somma | 1 | (S - P)·p - P·q |
Perchè il gioco sia equo bisogna che : (S - P)*p - P*q=0
Cioè
S·p - P·p - P·q=0 P(p+q)=S·p P=S·p
Il gioco in questo caso è quindi equo se il prezzo P pagato è uguale al prodotto della eventuale vincita moltiplicata per al probabilità di vincerla.